Nombre pseudo-premier de Fibonacci

En théorie des nombres, un nombre pseudo-premier est un nombre qui partage une propriété commune à tous les nombres premiers sans être lui-même premier.

Il existe plusieurs définitions, non équivalentes, de nombre pseudo-premier de Leonardo Fibonacci. L'une d'elles est :

Un nombre pseudo-premier de Fibonacci est un nombre composé impair n tel que

${\displaystyle L_{n}\equiv 1\ {\bmod {\ }}n,}$

où ${\displaystyle L_{n}}$ est le nombre de Lucas d'ordre n.

Il est conjecturé que la condition d'imparité est redondante.

Les premières valeurs en sont 705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721 : elles forment la suite A005845 de l'OEIS dont les termes y sont dénommés "nombres pseudo-premiers de Bruckman-Lucas".

Un nombre pseudo-premier de Fibonacci fort est un nombre composé impair n tel que

${\displaystyle \forall P\in \mathbb {Z} \quad V_{n}(P,-1)\equiv P\ {\bmod {\ }}n}$

où ${\displaystyle V(P,Q)}$ est la suite de Lucas de paramètres P et Q. Ce sont des pseudo-premiers de Fibonacci car ${\displaystyle V_{n}(1,-1)=L_{n}}$.

Une condition équivalente est :

1. n est un nombre de Carmichael ;
2. pour tout facteur premier p de n, 2(p 1) divise n – 1 ou n – p.

Le plus petit exemple de pseudo-premier de Fibonacci fort est 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·167·331 ; voir la suite A299799 de l'OEIS.

Notes et références

, fusionné depuis dans « Lucas pseudoprime (en) ».

Article connexe

• Nombre premier de Fibonacci

Liens externes

• (en) Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes, their factors, and their entry points
• (en) Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes under 2,217,967,487 and their factors

• Arithmétique et théorie des nombres